Urodził się 30 grudnia 1941 w miejscowości Zeda Simoneti (Imeretia, Zachodnia Gruzja).

Zdobył wykształcenie techniczne. Był zaangażowany w kolportaż nielegalnej literatury antykomunistycznej, przez co stał się obiektem zainteresowania KGB. Anzor Abżandadze zajmował się również tłumaczeniem na język gruziński klasyki literatury rosyjskiej w tym, m.in. Aleksandra Puszkina, Michaiła Lermontowa, Mikołaja Gogola, Leonida Andriejewa, Wasyla Szukszyna, Bułata Okudżawy, czy Josipa Brodskiego. W latach 1980 – 1981, jako członek kolegium redakcyjnego, nielegalnego czasopisma „Zbiór teologiczny”, gromadził materiały do publikacji, tłumaczył je i opracowywał. W 1987 roku wstąpił do nieformalnej, patriotycznej organizacji „Stowarzyszenie Ilii Czawczawadze”. W latach 1989 – 1993 był członkiem zarządu tej organizacji oraz aktywnie angażował się w prace przy wydawanym przez stowarzyszenie, nielegalnym czasopiśmie „Iweria”. Od 1990 roku współpracował i utrzymywał ścisłe kontakty z „Solidarnością Walczącą”. Od lat dziewięćdziesiątych, Anzor Abżandadze jest autorem prac naukowych, poezji, tłumaczeń literackich i rozpraw filozoficznych.